डिजिटल अर्काईव्ह (2008 - 2021)

इथं तफावतींच्या वर्गांची बेरीज करायची आहे. तफावतींचे वर्ग घेण्याचं कारण पॉझिटिव्ह अथवा निगेटिव्ह कोणत्याही संस्थेचा वर्ग पॉझिटिव्हच असतो. शुद्ध तफावतीचा मुद्दा असा निकालात काढला. खालचा denominator (भाजक) AMD बाबतीत न आहे तर इथं तो न-१ आहे. असं का ते मी तुला नंतर सांगेन. आता दुसरी संज्ञा SD ती विशेष काही नाही ते Variance V चं वर्गमूळ असतं.

"रोहन, तुझ्या अभ्यासाच्या वेळापत्रकात सातत्य नाही असं मी म्हटलं याचा अर्थ काय?" काका.

"तो तूच सांगायचास."

"तुझ्या सरासरी अभ्यास वेळेपेक्षा तू वर्षातले काही दिवस फार जास्त अभ्यास करतोस आणि काही दिवस फारच कमी. तुझ्या अभ्यासाच्या वेळात सरासरीपेक्षा फारशी तफावत नसती तर सातत्य आहे असं म्हटलं असतं. यावरूनच तू सातत्य गणितात कसं बसवायचं ते सांगू शकशील?" 

"विचार करायला पाहिजे, परंतु तेवढा वेळ नाही. उद्या सकाळपर्यंत मला क्रिकेटचा काय तो निकाल लावायचाय.'

"सोप्पं तर आहे. तुझ्या धावांची वा अभ्यास वेळेची प्रत्येक
संख्या सरासरी संख्येपासून किती दूर आहे ते...  

"हां आलं ध्यानात. ते काढायचं आणि मग त्यांची सरासरी." रोहननं आपल्या सरासरी धावसंख्येतून प्रत्येक सामन्यातील धावसंख्या वजा केली आणि त्यांची बेरीज केली.

(२४-२२)+(२४-२७)+(२४-१९)+(२४-२२)+(२४-३०)=०. 

"समीरच्या धावांबाबतीतही असंच कर." काका. 

ते उत्तरदेखील शून्य आलं.

"दोघांचीही सरासरी तफावत समान म्हणजे शून्य आहे. मग तुझ्या खेळात सातत्य आहे असं कसं म्हणतोस? 

'आमच्या धावसंख्या पाहून तूच सातत्याचं बोलला होतास.
रोहननं आठवण करून दिली. 

"बरोबरच आहे. तुझ्या खेळात सातत्य आहे. पण तू वापरलेली
गणिती पद्धत चुकीची आहे. आपण सरासरी का काढतो? कारण सर्व किंमती सारख्या नसतात म्हणून. काही किंमती सरासरीहून कमी आणि काही त्याहून जास्त असतात. म्हणूनच त्या तफावतींची बेरीज तू केलीस तशी केली तर उत्तर शून्य येणार. यासाठी Abso lute value ची म्हणजे शुद्ध अर्थात पॉझिटिव्ह किंमतीची संकल्पना कामी येते. गणितामध्ये ही किंमत ॥ अशा दोन उभ्या रेषांमध्ये दाखवली जाते. आपण नेहमी करतो त्या वजाबाकीत आणि शुद्ध तफावतीत फरक कसा असतो पहा...

२ - ५ = (२-५) = -३. परंतु । २-५ । = ३. =+ ३. 

तेव्हा तुमच्या धावसंख्येच्या सातत्याचं मूल्यांकन करायचं झालं तर ते Absoute Mean Deviation म्हणजे AMD ने करता येईल. तुमच्या बाबतीत

AMD = Σ ते ४ घ=५ ध -१

हे असलं सूत्र पाहून तू गणिताचा धसका घेतलास? कोणीही घेईल! हे सूत्र

|२४-२२।+।२४-२७।+।२४-१९+।२४-२२|+1२४-३०॥

या सरासरीचं संक्षिप्त करूप आहे. काही येतं का ध्यानात? ही तफावतींची सरासरी आहे. असा गांगरून जाऊ नकोस. ही गणिती भाषा आहे. काकानं रोहनपुढं तामिळी भाषेतील मजकूर ठेवला आणि सांगितलं 'वाच.'

रोहनला वाचता आलं नाही.

"म्हणजे तू निरक्षर की रे." काका उद्गारला. 

काकाच्या या शेऱ्यानं रोहन चिडला.

"मी चांगला साक्षर आहे. मराठी किंवा इंग्लिश मजकूर दे. बघ वाचतो की नाही?"

"परंतु तामिळी बाबतीत तू निरक्षरच. जशी देवनागरी, तामिळी ह्या लिपी असतात, तशीच गणिताची लिपी आहे. ती समजली की झालास साक्षर. आता पायरी पायरीनं आपण या सूत्राची उकल करू.

१. इथं त तफावतीसाठी तर ध हे अक्षर धावसंख्येसाठी वापरलेलं आहे. ज म्हणजे सामना क्रमांक. एकूण किती सामने खेळले गेले ते न अक्षर दर्शवतं. तेव्हा इथं न = ५.

२. ध अक्षराखाली बारीक अक्षरात ज लिहिलंय तेव्हा ध म्हणजे ज क्रमांकाच्या सामन्याची धावसंख्या. तुझ्या बाबतीत ध, =२२, ध = २७, ध, = १९, ध = २२ आणि ध = ३०. आता... 

३. सूत्रात त आणि ध ह्या अक्षरांवर आडवी रेघ मारली आहे. बदलती किंमत त्या खाली लिहिलेल्या क्रमांकानं दाखवली जाते. जसं ध , तर सरासरी किंमत अक्षरावर अशी धे रेघ मारून दाखवली जाते. आता महत्त्वाचं.

४. Σ हे चिन्ह. हे चिन्ह बेरजेसाठी वापरलं जातं. कोणत्या संख्यांची बेरीज ते या चिन्हाच्या खाली आणि वर लिहिलं जातं. आपण खाली लिहिलंय ज = १ आणि वर ज = ५. याचा अर्थ सामना क्रमांक १ ते सामना क्रमांक ५ च्या धावसंख्येच्या सरासरी पासूनच्या शुद्ध तफावतीचे बेरीज त्या चिन्हामुळे 

| २४-२२ ।+ ।२४-२७॥ + ।२४-१९ |+ |२४-२२ |+ ।२४-३० ॥ ही बेरीज...

Σ ध -ध ज-१

एवढ्या संक्षिप्त रूपात लिहिता येते. संक्षिप्तपणा ही तर गणिती भाषेची खुबी आहे. समज आपणाला पाचीच्या पाची सामने

विचारात घ्यायचे नाहीत. फक्त सामना क्र. २ ते ४ एवढ्यांचाच विचार करायचाय तर Σ या चिन्हाच्या खालती आणि वरती तू काय लिहिशील?

"चिन्हाच्या खाली लिहीन ज = २ आणि वर ज = ४. 

"गुड. किंवा खाली फक्त २ आणि वरती ४ म्हणजे Σ" असं २ लिहिलं तरी चालतं. कारण ज चा उल्लेख सूत्रात केलेलाच असतो. जेव्हा सर्वच्या सर्व संख्यांची बेरीज करायची असते तेव्हा केवळ चिन्ह लिहिलं तरी चालतं. म्हणजे

। ध - ध । च्या ऐवजी Σ । ध - ध।. कारण

संक्षिप्तपणा. आता तू तुझ्या आणि समीरच्या धावांचं AMD काढ. AMD हे तफावत दर्शवतं. तफावत म्हणजे सातत्याचा अभाव. तेव्हा AMD जेवढं कमी, तेवढं सातत्य जास्त. 

सूत्र वरवर अवघड दिसलं तरी गणित सोडवणं सोपं होतं. प्रथम प्रत्येक सामन्यातील शुद्ध तफावत काढली. त्यांची बेरीज केली. आलेल्या संख्येला ५ नी भागलं. झालं काही मिनिटांचं काम. रोहनचा AMD आलं ३.६ धावा तर समीरचं २८.४ धावा. खेळातलं रोहनचं सातत्य सिद्ध झालं होतं. उड्या मारून त्यानं तो आनंद साजरा केला.

पण एवढ्यावर थांबेल तो काका कसला? आता हे सूत्र...

Variance V = Σ  (u̟- )'. =
न-१.

"आता हे काय नवीन?" रोहन.

"नवीन काही नाही. तेच परंतु वेगळ्या पद्धतीनं गणितात तफावत Variance अगर Standard Deviation (SD) नी दाखवण्याची पद्धत आहे."

इथं तफावतींच्या वर्गांची बेरीज करायची आहे. तफावतींचे वर्ग घेण्याचं कारण पॉझिटिव्ह अथवा निगेटिव्ह कोणत्याही संस्थेचा वर्ग पॉझिटिव्हच असतो. शुद्ध तफावतीचा मुद्दा असा निकालात काढला. खालचा denominator (भाजक) AMD बाबतीत न आहे तर इथं तो न-१ आहे. असं का ते मी तुला नंतर सांगेन. आता दुसरी संज्ञा SD ती विशेष काही नाही ते Variance V चं वर्गमूळ असतं.

SD = Vv

रोहननं त्याच्या आणि समीरच्या धावांचं SD काढलं. ते अनुक्रमे ४.४ धावा आणि ३८.१७ धावा एवढं आलं. रोहनचं सातत्य अधिक चांगलं असल्यामुळे त्याचं SD कमी असणं स्वाभाविक होतं.

"तुझ्या आणि समीरच्या सरासरी धावसंख्येत फारसा फरक असल्यामुळे सातत्याचं हे मूल्यांकन ठीक आहे. तथापि गुणांक Coefficient of Variation (CV) हे सातत्याचं यथायोग्य मूल्यांकन करतो.

“काका तू आणखी वाढवत बसू नकोस. 

“हे तर महत्त्वाचं आहे. समज माझ्या ५ सामन्यातील धावा आहेत ८२, ९६, १११, १०७ आणि ७९. तुझ्या ५ सामन्यातील
धावांशी याची तुलना कर. 

रोहन गणित करू लागला. काकांची सरासरी आली ९५ धावा आणि SD १४.३७ धावा. काकाच्या धावा जास्त असल्या तरी आपलं SD बरंच कमी म्हणून सातत्यात आपणच सरस.

"इथंच चुकतंय. तुझं SD कमी आहे, परंतु माझ्या धावांची सरासरी तुझ्यापेक्षा कितीतरी सरस आहे. तेव्हा सातत्याची तुलना अशी करता येणार नाही. ती सरासरीच्या तुलनेनं म्हणजे CV नं करावी लागेल. CV चं सूत्र म्हणजे एकदम बच्चोंका खेल है.

इथं Mean म्हणजे धावांची सरासरी.

काकाचा CV०.१५ आला. रोहनचा ०.१८३ आणि समीरचा १.५३. 

"cv टक्केवारीतही देण्याची पद्धत आहे. आलेल्या उत्तराला
१०० नी गुणलं की टक्केवारी मिळते. म्हणून माझा CV १५%, तुझा १८.३% आणि समीरचा १५३%. तुलनात्मक अभ्यासात हे असं करावं लागतं. राष्ट्रीय उत्पन्नाच्या बाबतीत एकूण उत्पन्न वास्तव उभं करू शकत नाही. एकूण उत्पन्नाला लोकसंख्येनं भागून दरडोई उत्पन्न काढलं जातं. लोकसंख्येच्या अभ्यासात एकूण लोकसंख्येऐवजी लोकसंख्या घनता म्हणजे प्रती चौरस कि.मी.ची सरासरी लोकसंख्या दिली जाते. याला Standardization किंवा Normalization म्हणतात.

हे सगळं सोपं आहे, तुला समजून घ्यायची आहे ती गणिती भाषा...
 

Tags: weeklysadhana Sadhanasaptahik Sadhana विकलीसाधना साधना साधनासाप्ताहिक


प्रतिक्रिया द्या


लोकप्रिय लेख 2008-2021

सर्व पहा

लोकप्रिय लेख 1996-2007

सर्व पहा

जाहिरात

साधना प्रकाशनाची पुस्तके